Клей Kiilto

Интеграл от $\frac{dx}{(\exp(x)+1)^{\frac{1}{2}}}$

Один из способов решения данного интеграла заключается в применении метода замены переменной. Рассмотрим этот подход подробнее.

Первым шагом предлагается сделать замену переменной. Пусть $t = \exp(x)$. Заметим, что $dt = \exp(x)dx = tdx$, откуда $dx = \frac{dt}{t}$.

Заменяя выражения для $dx$ и $e^x$ в исходном интеграле, мы получаем:

$\int \frac{dx}{(\exp(x)+1)^{\frac{1}{2}}} = \int \frac{\frac{dt}{t}}{(t+1)^{\frac{1}{2}}} = \int \frac{dt}{t(t+1)^{\frac{1}{2}}}$

Теперь ключевым моментом становится выбор подходящей стратегии для дальнейшего интегрирования. В данном случае, возникает идея использования метода разложения на простые дроби. Зная, что интегрируемая функция содержит одну степень знаменателя, мы можем представить исходное выражение в виде суммы двух частей:

$\frac{1}{t(t+1)^{\frac{1}{2}}} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t+1}$

Домножим обе части этого равенства на $t(t+1)^{\frac{1}{2}}$, получим:

$1 = A(t+1) + Bt$

Подставим одно или несколько удобных значений для $t$, чтобы найти значения $A$ и $B$.

Возьмем, к примеру, $t = 0$. Тогда:

$1 = A(0+1) + B(0) \ 1 = A$

Исключительно легко обнаружить, что $A = 1$.

Теперь проведем сравнение полученных значений с уравнением ($A = 1$ и $A + B= 0$):

$1 + B = 0 \ 1 + B = 0 \ B = -1$

Теперь, имея значения $A = 1$ и $B = -1$, мы можем вернуться к предложенному разложению на простые дроби:

$\frac{1}{t(t+1)^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}$

Таким образом, исходный интеграл:

$\int \frac{dx}{(\exp(x)+1)^{\frac{1}{2}}}$

может быть переписан в виде:

$\int \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}\right) dt$

Раскрывая скобки и проводя интегрирование каждого слагаемого по отдельности, мы получаем:

$\int \left(\frac{1}{t} - \frac{1}{t+1}\right) dt = \ln|t| - \ln|t+1| + C$

Используя исходную замену переменной $t = \exp(x)$, можно перезаписать:

$\ln|t| - \ln|t+1| + C = \ln|\exp(x)| - \ln|\exp(x)+1| + C$

Упрощая, получаем окончательный результат:

$\ln(e^x) - \ln(e^x+1) + C$

Таким образом, интеграл от $\frac{dx}{(\exp(x)+1)^{\frac{1}{2}}}$ равен $\ln(e^x) - \ln(e^x+1) + C$, где $C$ - произвольная постоянная.