Клей Kiilto

Решите, пожалуйста, комплексное уравнение

Дано уравнение:

z^2 = 3 - 4i

Нам нужно найти все комплексные числа z, которые удовлетворяют этому уравнению.

Чтобы решить это уравнение, мы должны выразить z из уравнения в виде a + bi, где а и b - вещественные числа. Затем мы подставим полученное выражение в исходное уравнение и сравним действительные и мнимые части обеих сторон уравнения.

Предположим, что z = a + bi.

Тогда мы можем записать:

(a + bi)^2 = 3 - 4i

Раскроем квадрат по формуле:

(a^2 + 2abi - b^2) = 3 - 4i

Теперь сравним действительные и мнимые части обеих сторон уравнения.

Действительная часть:

a^2 - b^2 = 3

Мнимая часть:

2ab = -4

Из уравнения для мнимой части, мы можем выразить одну переменную через другую:

b = -2/a

Подставим это обратно в уравнение для действительной части:

a^2 - (-2/a)^2 = 3

a^2 - 4/a^2 = 3

Умножим все части уравнения на a^2:

a^4 - 4 = 3a^2

Перепишем уравнение в квадратном виде:

a^4 - 3a^2 - 4 = 0

Теперь мы можем решить это уравнение относительно переменной а, используя факторизацию или квадратное уравнение.

(a^2 - 4)(a^2 + 1) = 0

Решим каждую часть отдельно:

  1. a^2 - 4 = 0

    a^2 = 4 a = ±2

  2. a^2 + 1 = 0

    a^2 = -1 a = ±i

Таким образом, у нас есть четыре решения для переменной a: 2, -2, i и -i.

Теперь мы можем найти соответствующие значения b, используя уравнение b = -2/a:

Для a = 2, b = -1 Для a = -2, b = 1 Для a = i, b = 2i Для a = -i, b = -2i

Таким образом, мы нашли четыре комплексных числа, которые удовлетворяют исходному уравнению:

z1 = 2 - i z2 = -2 + i z3 = i + 2i z4 = -i - 2i

Итак, решения исходного уравнения z^2 = 3 - 4i равны z1 = 2 - i, z2 = -2 + i, z3 = i + 2i и z4 = -i - 2i.

Чтобы проверить эти решения, мы можем подставить их обратно в исходное уравнение и проверить, выполняется ли равенство.